11-12學年高中數學,311,數系的擴充與復數的概念課件,新人教A版選修2

來源:思想匯報 發布時間:2020-08-06 21:34:11 點擊:
●課程目標 1.在問題情景中了解數系的擴充過程,體會實際需求與數學內部的矛盾數的運算規則,方程求根等在數系擴充過程中的作用,感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系. 2.理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件. 3.了解復數的代數表示法及其幾何意義. 4.能進行復數代數形式的四則運算,了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義.,●重點難點 本章學習重點 了解引進復數的必要性、復數的有關概念、復數的代數表示及幾何意義以及復數代數形式的運算法則,能進行復數代數形式的加法、減法、乘法、除法運算. 本章學習難點 復數的概念如復數相等的條件,復數的幾何意義,復數加法的幾何意義,復數除法的運算法則及復數的除法.,●學法探究 1.學習本章首先從實際問題情境中,體會數系擴展的必要性,并注意數系擴展的方向和原則,使擴展后的數系能包括原來的數系,原有的運算及運算律在擴展后的數系中仍然成立. 2.復數的概念及復數表示各類數的特征是重要的基礎知識,要切實理清脈絡,熟練應用.,3.復數、復數的模及復數加、減法的幾何意義為我們利用數形結合討論研究問題提供了方便.要深刻體會復數與復平面內的點、向量之間的對應關系,熟練掌握復數的模與兩點間的距離之間的關系. 4.不全為實數的兩個復數不能比較大小、z2≠|z2|等復數集與實數集中不同的性質,在學習過程中要逐步體會、歸納總結. 5.復數的運算可類比實數運算中的“合并同類項”“多項式乘法”“分母有理化”等加以記憶.,3.1 數系的擴充與復數的概念 3.1.1 數系的擴充與復數的概念,了解數系的擴充過程,理解復數的代數表示,理解復數相等的充要條件,能用復數的代數形式解決相關問題.,本節重點復數的有關概念. 本節難點復數的分類及復數相等的條件.,2.任意兩個復數,只有相等與不等的關系,不能像實數那樣比較大小.只有當兩個復數都為實數時,才可以比較大小;
兩個復數相等,當且僅當它們的實部與虛部分別對應相等,∴a+bi=0?a=b=0.,3.z=a+bi中,a、b∈R的條件應引起足夠重視,沒有這一條件,a、b就不能稱作復數的實部與虛部. 4.復數分類的條件是解決復數問題的依據,要切實掌握.,1.復數的概念與代數形式 我們把形如z= 的數叫做復數,其中i叫做 ,a、b分別叫做復數z的 與 z=a+bia、b∈R這一表示形式叫做復數的 形式.全體復數所構成的集合C叫做復數集. C= .,虛數單位,實部,虛部.,代數,{a+bi|a、b∈R},a+bia、b∈R,4.復數的集合表示 不全為實數的兩個復數不能比較大小.,[例1] 下列命題中,正確命題的個數是 ①若x,y∈C,則x+yi=1+i的充要條件是x=y=1;

②若a,b∈R且ab,則a+ib+i;

③若x2+y2=0,則x=y=0. A.0 B.1 C.2 D.3 [分析] 由題目可獲取以下主要信息 ①題中給出了三個命題;

②判斷正確命題的個數. 解答本題只需根據復數的有關概念判斷即可.,[答案] A [解析] ①由于x,y∈C,所以x+yi不一定是復數的代數形式,不符合復數相等的充要條件,①是假命題. ②由于兩個虛數不能比較大小,∴②是假命題. ③當x=1,y=i時,x2+y2=0成立,∴③是假命題.,[點評] 1.數系擴充的原則 1為了解決x2+1=0這樣的方程在實數集中無解的問題,人們引進了一個新數i,叫做虛數單位,并且規定i2=-1.這樣原數集中不能解決的問題在新數集中就能夠解決了. 2規定i與實數可以進行四則運算,在進行運算時,原有的加、乘運算律仍然成立,即與原數集不矛盾.,2.關于復數的代數形式 復數z=a+bia,b∈R中注意以下幾點 1a,b∈R,否則不是代數形式. 2從代數形式可判定z是實數,虛數還是純虛數. 反之,若z是純虛數,可設z=bib≠0,b∈R;

若z是虛數,可設z=a+bib≠0,b∈R;

若z是復數,可設z=a+bia,b∈R.,下列命題正確的是________. ①若實數a與ai對應,則實數與純虛數一一對應;

②若z=a+bi,則當且僅當a=0且b≠0時,z為純虛數;

③復數-i+1的虛部為-1. [答案] ③ [解析] 實數與純虛數不能建立一一對應關系,故①錯;
若z=a+bi為純虛數,則需a,b∈R且a=0且b≠0,題目中漏掉條件a,b∈R,故②錯;
③顯然正確.,[分析] 在本題是復數的標準形式下,即z=a+bia,b∈R,根據復數的概念,只要對實部和虛部分別計算,總體整合即可.,[點評] ①判斷一個含有參數的復數在什么情況下是實數、虛數、純虛數,首先要保證參數值有意義,如果忽略了實部是含參數的分式中的分母m+3≠0,就會釀成根本性的錯誤,其次對參數值的取舍,是取“并”還是“交”,非常關鍵,多與少都是不對的,解答后進行驗算是很有必要的. ②對于復數z=a+bia,b∈R,既要從整體的角度去認識它,把復數z看成一個整體,又要從實部與虛部的角度分解成兩部分去認識它.這是解復數問題的重要思路之一.,1下列命題中假命題是 A.自然數集是非負整數集 B.實數集與復數集交集為實數集 C.實數集與虛數集交集是{0} D.純虛數集與實數集交集為空集 [答案] C [解析] 復數可分為實數和虛數兩大部分,虛數中含有純虛數,因此,實數集與虛數集沒有公共元素,C是假命題.故選C.,2已知a、b∈R,則a=b是a-b+a+bi為純虛數的 A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 [答案] C [解析] 當a=b=0時,此復數為0是實數,故A、B不正確;
,[例3] 已知M={1,m2-2m+m2+m-2i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求實數m的值. [分析] 由M∪P=P知,M是P的子集,從而可知m2-2m+m2+m-2i=-1或4i,利用復數相等的條件就可求得m的值.,[點評] 1復數相等的條件,是求復數值及在復數集內解方程的重要依據. 2根據復數相等的定義可知,在a=c,b=d中,只要有一個不成立,那么a+bi≠c+di.所以,一般地,兩個復數只有說相等或不相等,而不能比較大小,例如,1+i和3+5i不能比較大小.,1已知x2-y2+2xyi=2i,求實數x、y的值. 2已知復數z=k2-3k+k2-5k+6ik∈R,且z<0,求k的值.,一、選擇題 1.設C={復數},A={實數},B={純虛數},全集U=C,那么下列結論正確的是 A.A∪B=C B.?UA=B C.A∩?UB=? D.B∪?UB=C [答案] D [解析] ∵B={純虛數},∴BC,∴B∪?UB=C.故應選D.,[答案] A,3.復數4-3a-a2i與復數a2+4ai相等,則實數a的值為 A.1 B.1或-4 C.-4 D.0或-4 [答案] C,二、填空題 4.a=0是復數a+bia,b∈R為純虛數的____________條件. [答案] 必要不充分 [解析] 當a+bi為純虛數時a=0;
當a=0時,需b≠0,a+bi才為純虛數,所以a=0是復數a+bia,b∈R為純虛數的必要不充分條件.,5.已知復數z=m21+i-m+im∈R,若z是實數,則m的值為________;
若z是虛數,則m的取值范圍是________;
若z是純虛數,則m的值為________. [答案] 1 -∞,-1∪-1,1∪1,+∞ 0 [解析] z=m2+m2i-m-i=m2-m+m2-1i 若z是實數,則m2-1=0,解得m=1;

若z是虛數,則m2-1≠0,解得m≠1;
,三、解答題 6.設復數z=lgm2-2m-2+m2+3m+2im∈R,當實數m取何值時. 1z是純虛數. 2z是實數.,

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